Trois votes honnêtes. Trois vainqueurs possibles.
Un dîner imaginaire pour expérimenter le paradoxe de Condorcet : trois préférences cohérentes, une boucle de majorités et trois issues que décide le même tournoi, selon son premier duel.
Le dîner dépend de ta première question
Il est 20 heures. Trois personnes ont faim. Tu proposes de voter, elles acceptent, et le problème paraît réglé. Personne ne trichera. Chacune dira exactement quel plat elle préfère.
Tu ne participes pas au vote. Ton seul pouvoir : choisir les deux plats qui s'affronteront d'abord. Le gagnant affrontera ensuite le troisième, et cette finale décidera du dîner.
Dans cette scène inventée, rien ne changera dans les goûts d'Inès, de Léo et de Mina. Pourtant, tu peux les faire asseoir devant trois dîners différents. Sans toucher à un seul bulletin.
Trois cartes sur la table
Au menu : A, une pizza ; B, des sushis ; C, un curry vert avec du riz. Chaque personne classe les trois plats, du plus désiré au moins désiré. Ce sont des préférences pour ce soir, pas des jugements sur la valeur des recettes.
À chaque duel, on choisit le plat le mieux placé sur sa carte. Tous les trois votent à chaque fois, même après l'élimination de leur favori. Aucun ne change d'avis en cours de route.
- Inès : pizza, puis sushis, puis curry. A > B > C.
- Léo : sushis, puis curry, puis pizza. B > C > A.
- Mina : curry, puis pizza, puis sushis. C > A > B.
À toi d'ouvrir le premier duel
Choisis mentalement le plat que tu veux voir gagner. Puis lance un premier duel ci-dessous. Le troisième plat attendra la finale ; le perdant du premier duel sera définitivement éliminé.
Tu verras les votes individuels avant de découvrir le dîner retenu. Recommence ensuite avec un autre duel, sans modifier les cartes. Le détail important n'est pas seulement le nombre de voix : regarde qui s'associe avec qui.
Un premier duel, puis la finale
Suis un premier duel jusqu’à la finale, puis compare les trois chemins.
Quel duel ouvres-tu ?
Les cartes restent les mêmes : Inès A > B > C ; Léo B > C > A ; Mina C > A > B.
A = pizza, B = sushis, C = curry. Tu choisis uniquement le premier duel. Le plat restant attend la finale.
Premier duel : A bat B, 2–1
Inès vote pizza. Léo vote sushis. Mina vote pizza.
La pizza gagne par deux voix contre une. Les sushis sont éliminés. Le curry attendait : il entre maintenant en finale contre la pizza.
Premier duel : B bat C, 2–1
Inès vote sushis. Léo vote sushis. Mina vote curry.
Les sushis gagnent par deux voix contre une. Le curry est éliminé. La pizza attendait : elle entre maintenant en finale contre les sushis.
Premier duel : C bat A, 2–1
Inès vote pizza. Léo vote curry. Mina vote curry.
Le curry gagne par deux voix contre une. La pizza est éliminée. Les sushis attendaient : ils entrent maintenant en finale contre le curry.
Ce soir, ce sera curry
Inès vote pizza. Léo vote curry. Mina vote curry. Le curry gagne la finale, 2–1.
Mais Inès et Léo préféraient tous les deux les sushis au curry. Les sushis avaient disparu dès le premier duel.
Même table, mêmes cartes : recommence par un autre duel pour changer le dîner.
Ce soir, ce sera pizza
Inès vote pizza. Léo vote sushis. Mina vote pizza. La pizza gagne la finale, 2–1.
Mais Léo et Mina préféraient tous les deux le curry à la pizza. Le curry avait disparu dès le premier duel.
Même table, mêmes cartes : recommence par un autre duel pour changer le dîner.
Ce soir, ce sera sushis
Inès vote sushis. Léo vote sushis. Mina vote curry. Les sushis gagnent la finale, 2–1.
Mais Inès et Mina préféraient toutes les deux la pizza aux sushis. La pizza avait disparu dès le premier duel.
Même table, mêmes cartes : recommence par un autre duel pour changer le dîner.
La majorité change de visage
Mettons les trois comparaisons côte à côte. La pizza bat les sushis grâce à Inès et Mina. Les sushis battent le curry grâce à Inès et Léo. Le curry bat la pizza grâce à Léo et Mina. Chaque victoire est nette : deux voix contre une.
Le piège apparaît si tu remplaces ces coalitions différentes par un personnage imaginaire appelé « le groupe ». Ce personnage préfère A à B, B à C, puis C à A. Il tourne en rond. Inès, Léo et Mina, eux, possèdent chacun un classement sans boucle.
Cette boucle de majorités est un cycle de Condorcet. Un vainqueur de Condorcet serait une option qui battrait chacune des autres en duel. Ici, il n'y en a pas : chaque plat rencontre un adversaire qui le bat.
Le comptage n'a rien d'incertain. Les trois résultats sont parfaitement déterminés. Ce qui manque, c'est un plat capable de sortir victorieux de toutes les comparaisons.
Le plat qui attendait gagne
Reprenons ton tournoi. Si tu commences par pizza contre sushis, la pizza élimine les sushis. Le curry arrive alors en finale et bat la pizza. Le curry gagne, alors qu'une majorité aurait préféré les sushis au curry. Mais les sushis ne sont plus là.
En commençant par sushis contre curry, tu fais disparaître le curry : la pizza gagne la finale. En commençant par curry contre pizza, tu élimines la pizza : les sushis remportent le dîner.
Dans cet exemple précis, le plat laissé en attente gagne toujours. Son futur adversaire a éliminé le seul plat qui pouvait le battre. Tu n'as persuadé personne ; tu as décidé quelle comparaison deviendrait impossible.
Cette propriété vient des trois cartes et de la règle d'élimination retenue. Elle ne dit pas que passer en dernier fait toujours gagner un vote.
Et si l'on changeait la règle ?
« Très bien, choisissons simplement le plat préféré de chacun. » Avec ces cartes, cela donne une voix pour chaque plat. Égalité.
« Alors donnons deux points au premier, un au deuxième et zéro au dernier. » Chaque plat occupe une fois chaque position : trois points chacun. Nouvelle égalité. Ce calcul se vérifie directement sur les cartes ; ce n'est pas une recommandation de méthode.
On pourrait décider d'un tirage au sort, alterner les dîners ou chercher un quatrième plat acceptable. Ce seraient de nouvelles règles ou de nouvelles options, à convenir ensemble. Notre expérience ne permet pas de déclarer l'une d'elles meilleure en toute circonstance.
Elle ne mesure pas non plus la fréquence des cycles dans les élections réelles. Trois préférences soigneusement choisies suffisent à montrer une possibilité ; elles ne constituent pas un sondage sur la vie collective.
Avant de demander « qui a gagné ? »
La prochaine fois qu'un groupe réduit plusieurs propositions par une succession de duels, demande à voir la procédure aussi clairement que les votes. Une majorité obtenue dans la dernière comparaison ne prouve pas que le gagnant battrait toutes les options écartées.
Fixer l'ordre et le traitement des égalités avant de connaître les préférences peut limiter le choix opportuniste des questions. Cela n'efface pas un éventuel cycle. Pour détecter celui de notre table, il faut conserver les trois comparaisons, y compris celle que le tournoi a rendue inutile.
- Quelles options entrent réellement dans le vote ?
- Qui choisit l'ordre des duels, et à quel moment ?
- Le vainqueur final a-t-il affronté toutes les autres options ?
- Que prévoit la règle lorsqu'aucune option ne bat toutes les autres ?
La quatrième chaise
Il y avait trois personnes qui votaient, et une quatrième chaise : la tienne. Tu n'avais aucune voix. Pourtant, avec ces préférences, choisir le premier duel suffisait à choisir le dîner.
Les bulletins racontaient ce que chacun voulait. Pour comprendre ce qui s'est retrouvé dans les assiettes, il fallait aussi regarder la question posée en premier.