L’hôtel infini est complet : peut-on encore accueillir un voyageur ?
La pancarte indique « complet ». Une voyageuse attend à la réception. Pour lui trouver une chambre, il faut repérer ce qui change vraiment entre un hôtel immense et un hôtel infini.
Une valise devant cent portes
Imaginons d’abord un hôtel de cent chambres, toutes occupées par une personne. Une voyageuse arrive. Vous proposez de déplacer chaque client dans la chambre suivante : le 1 va au 2, le 2 au 3…
Le client de la chambre 100 lève sa clé. Où doit-il aller ? La chambre 101 n’existe pas. L’envoyer dans la chambre 1 refermerait la boucle sans libérer de place. Avec un million de chambres, le problème serait le même : quelqu’un se retrouverait au bout.
Gardons cette objection en tête. C’est elle qui va disparaître.
La porte qu’on ne rencontre jamais
Entrons dans l’hôtel de Hilbert, une expérience de pensée. Ses chambres portent tous les numéros entiers positifs : 1, 2, 3… sans dernier numéro. Chacune est occupée. On autorise une réattribution générale des chambres ; personne ne doit partager ni perdre sa place.
La consigne tient en une ligne : le client de la chambre n reçoit la chambre n + 1. Chaque destination existe. Deux clients différents obtiennent deux numéros différents. Aucun ancien client ne reçoit le numéro 1 : la voyageuse peut s’y installer.
Et le dernier client ? Il n’y en a pas. L’hôtel infini n’est pas un hôtel très grand dont on aurait caché la dernière porte.
Une seconde arrivée change la règle
La réception accueille maintenant une file infinie de nouveaux voyageurs. Chacun a un ticket : 1, 2, 3… L’hôtel est de nouveau entièrement occupé. Il faut attribuer une chambre à chaque personne de cette file.
Décaler tout le monde d’une chambre ne libère qu’une place. Décaler de mille chambres en libère mille. C’est beaucoup, mais le ticket 1 001 resterait sans chambre. Quelle consigne choisir ?
À vous de tenir la réception
Comparez les trois consignes. Une solution doit conserver une chambre par ancien client et libérer une chambre pour chacun des tickets 1, 2, 3… Les réponses expliquées restent disponibles ci-dessous.
Réponses et explications
- Déplacer chaque client de n vers n + 1 000.: Cela libère exactement les chambres 1 à 1 000. Les nouveaux voyageurs au-delà du ticket 1 000 n’ont pas encore de place. Un grand décalage fixe reste fini.
- Déplacer chaque client de n vers 2n.: Les anciens clients occupent les chambres paires. Le nouveau voyageur au ticket k reçoit la chambre impaire 2k − 1 : 1, 3, 5… Chaque ticket a sa chambre.
- Installer la file après la dernière chambre.: Il n’existe pas de dernière chambre. Cette consigne ne donne donc aucun numéro de destination aux nouveaux voyageurs.
Réponses et explications
- Déplacer chaque client de n vers n + 1 000.: Cela libère exactement les chambres 1 à 1 000. Les nouveaux voyageurs au-delà du ticket 1 000 n’ont pas encore de place. Un grand décalage fixe reste fini.
- Déplacer chaque client de n vers 2n.: Les anciens clients occupent les chambres paires. Le nouveau voyageur au ticket k reçoit la chambre impaire 2k − 1 : 1, 3, 5… Chaque ticket a sa chambre.
- Installer la file après la dernière chambre.: Il n’existe pas de dernière chambre. Cette consigne ne donne donc aucun numéro de destination aux nouveaux voyageurs.
Deux listes qui s’entrelacent
Les chambres paires accueillent les anciens clients ; les impaires, les nouveaux. Deux anciens clients n’ont pas le même double. Deux tickets différents ne donnent pas le même numéro impair. Et aucun numéro n’est à la fois pair et impair : les deux groupes ne se rencontrent dans aucune chambre.
Choisissez un ticket très loin dans la file, par exemple 8 013. Sa destination est déjà définie : 16 025. On n’a pas besoin de parvenir au bout de la liste pour donner une règle valable pour chacun.
- Anciens clients : 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, 4 → 8…
- Nouveaux tickets : 1 → 1, 2 → 3, 3 → 5, 4 → 7…
Ce que l’hôtel nous apprend
Ici, « complet » décrit l’occupation actuelle. Cela n’interdit pas une autre répartition. Pour comparer des ensembles infinis, on peut chercher une correspondance un à un : un partenaire pour chaque élément, sans oubli ni doublon.
L’infini de cet hôtel est dit dénombrable : ses chambres se rangent dans une liste numérotée 1, 2, 3… Cela ne signifie pas que tous les ensembles infinis ont la même taille.
L’histoire établit une attribution mathématique. Elle ne fournit pas un programme de déménagement réalisable : durée des déplacements, distances et circulation des clients sont laissées de côté. Dans un bâtiment fini, même gigantesque, la dernière porte revient bloquer la manœuvre.
Pour raconter le paradoxe à quelqu’un, commencez par les cent chambres. Demandez-lui où va le client de la chambre 100. Puis imaginez un hôtel où aucun numéro n’est le dernier. C’est là que l’intuition bascule.